【数】ディリクレの関数

数学たのしい

ぼくはただの高校生ですが数学に少し興味があります。

色んなサイトなどで見てとても興味を持ったものや自分の考察を紹介したいと思います！

今日おもしろいなぁと思ったものは。。

『ディリクレの関数』

どんなものかと言うと。。

xに有理数を入れると1を出し xに無理数を入れると0を出す関数です。

おもしろい。。。何が面白いかって言うと これがひとつの式で表せてしまうことですね。こんな感じ↓

さー何でこうなるんでしょう？？？

n!π xについて

1. xが有理数の時

有理数って 整数とか小数とかなんですけど、これって全部
整数/整数
で表せるんですね
そして それに n! をかけると分母に来る整数が必ず n! の中のどれかの整数ではらわれます。つまり。。。
n!πxは絶対に2πの倍数 (n→∞)
となります。

2. xが無理数の時

有理数と比較すると n! をかけても πx は2πの倍数にならなさそうですね。

よって

n!πxは2πの倍数ではない (n→∞)

のです。

ちょっと広げます。

cos(n!πx)について

1. xが有理数の時

cosの中身は2πの倍数なので

cos(n!πx)は絶対 1 

なんか見えてきましたね、、、

2. xが無理数の時

cosの中身は2πの倍数ではないので

 cos(n!πx)は 1 以外の何か

になります

ここで cos(なんたら) は必ず -1 以上 1 以下なので

cos(n!πx)は -1 から 1 の中の何か

ここで-1,1は含まないことは分かりますね？

最後に極限でぶっ飛ばします。

{  cos(n!πx)  }^k について

さっきのやつを∞回かけまくるって意味

1. xが有理数の時

{        }^k の中身は 1 なので無限回かけても 1 

2. xが無理数の時

{        }^k の中身は絶対値が1より小さいので無限回かけまくると0に近ずいて行きます

出来ましたね！

省略してたlim達を出してくると

lim(k→∞)lim(n→∞)cos^k(n!πx)

やー、、美しい。

ん？

あれ、なぜかべき乗の部分が本来のものとちがう、、、

2kにする必要はあるのかな？

まだまだ未熟なのですね。

今回は初めての数学回 ありがとうございました( ´﹀` )

追記

 有理数は  整数/整数  となるので分母の整数が全ての偶数の総積だったとき、

n!πxはπの倍数ではあるが2πの倍数ではない

そうするとcos(〜)が -1 となるので偶数乗(すなわち2k乗)しないと1にならないので

lim(k→∞)lim(n→∞)cos^2k(n!πx)

であることが分かりました。

これも自分で次の日に思いついたことなので正しいかどうか分かりませんが、一日置いてみると新しい考えが出てくるもんなんですね。