【数】ディリクレの関数
数学たのしい
ぼくはただの高校生ですが数学に少し興味があります。
色んなサイトなどで見てとても興味を持ったものや自分の考察を紹介したいと思います！
今日おもしろいなぁと思ったものは。。
『ディリクレの関数』
どんなものかと言うと。。
xに有理数を入れると1を出し xに無理数を入れると0を出す関数です。
おもしろい。。。何が面白いかって言うと これがひとつの式で表せてしまうことですね。こんな感じ↓
さー何でこうなるんでしょう？？？
n!π xについて
1. xが有理数の時
有理数って 整数とか小数とかなんですけど、これって全部
整数/整数
で表せるんですね
そして それに n! をかけると分母に来る整数が必ず n! の中のどれかの整数ではらわれます。つまり。。。
n!πxは絶対に2πの倍数 (n→∞)
となります。
2. xが無理数の時
有理数と比較すると n! をかけても πx は2πの倍数にならなさそうですね。
よって
n!πxは2πの倍数ではない (n→∞)
のです。
ちょっと広げます。
cos(n!πx)について
1. xが有理数の時
cosの中身は2πの倍数なので
cos(n!πx)は絶対 1
なんか見えてきましたね、、、
2. xが無理数の時
cosの中身は2πの倍数ではないので
cos(n!πx)は 1 以外の何か
になります
ここで cos(なんたら) は必ず -1 以上 1 以下なので
cos(n!πx)は -1 から 1 の中の何か
ここで-1,1は含まないことは分かりますね？
最後に極限でぶっ飛ばします。
{ cos(n!πx) }^k について
さっきのやつを∞回かけまくるって意味
1. xが有理数の時
{ }^k の中身は 1 なので無限回かけても 1
2. xが無理数の時
{ }^k の中身は絶対値が1より小さいので無限回かけまくると0に近ずいて行きます
出来ましたね！
省略してたlim達を出してくると
lim(k→∞)lim(n→∞)cos^k(n!πx)
やー、、美しい。
ん？
あれ、なぜかべき乗の部分が本来のものとちがう、、、
2kにする必要はあるのかな？
まだまだ未熟なのですね。
今回は初めての数学回 ありがとうございました( ´﹀` )
追記
有理数は 整数/整数 となるので分母の整数が全ての偶数の総積だったとき、
n!πxはπの倍数ではあるが2πの倍数ではない
そうするとcos(〜)が -1 となるので偶数乗(すなわち2k乗)しないと1にならないので
lim(k→∞)lim(n→∞)cos^2k(n!πx)
であることが分かりました。
これも自分で次の日に思いついたことなので正しいかどうか分かりませんが、一日置いてみると新しい考えが出てくるもんなんですね。
【マイクラ】基本回路について
ラッチ回路とパルサー回路
今回はマインクラフトでひとつの楽しむポイントであるレッドストーン回路についての話です。二つの回路の説明をしますがこれはよく使うほんの一例だと思ってください。次の二つの回路です。
- ラッチ回路
- パルサー回路
ラッチ回路
ラッチ回路は信号を保存しておく回路の一つです。まずはコチラ
左のボタンを押すと左がオンになったまま保存されます。
パルサー回路
パルサー回路は何秒間か伝わってくる信号を一瞬の信号に変えるだけの回路です。
画面中央左の部品の仕組みがちょい難しいです。画面右から入力した信号と画面上からきた信号の強さを比較して右からの方が強かった時だけ信号がつたわる感じです。それを利用すると。。
ピカーーー
っていう信号を
ピッ
って感じに変えられます。これはよく使いますね
コンパクトにするとこんな感じ↓
このラッチ回路とパルサー回路はよーく使うので覚えとくと便利です。
ではではまともな投稿としては初投稿！
ありがとうございました( ´﹀` )
ブログ開設
よく分かんないけど始めてみました！
数のねこです。
数学とマインクラフトが大好きなので内容が主にそれになると思います
